Official site of the Department of Theoretical Physics and Astronomy, Odessa National University, Ukraine

Processing math: 100%

| Фундаментальні сталі | Тригонометрія | Інтеграли | Похідні |

Інтеграли*

Степенные функции $\int {x^n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ( $n \neq -1$ , целое; если $n<0$ , $x \neq 0$ ) $\int x^\alpha \, dx = \frac{x^\alpha}{\alpha+1}$ ( $\alpha \neq -1$ , действительное, $x > 0$ ) $\int \frac{dx}{x} = \ln{\|x\|} \qquad (x \neq 0)$		Показательные функции $\int e^{\alpha x} \, dx = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha}$ $\int a^{\alpha x} \, dx = \frac{a^{\alpha x}}{\alpha \ln{a}}$
Тригонометрические функции $\int \sin{\alpha x} \, dx = - \frac{\cos{\alpha x}}{\alpha}$ $\int \cos{\alpha x} \, dx = \frac{\sin{\alpha x}}{\alpha}$ $\int {\rm tg} {\alpha x} \, dx = - \frac{\ln{\|\cos{\alpha x}\|}}{\alpha}$ $\left( x \neq (2k + 1) \frac{\pi}{2} \right)$ $\int {\rm ctg} {\alpha x} \, dx = \frac{\ln{\|\sin{\alpha x}\|}}{\alpha}$ $\left( x \neq 2k \frac{\pi}{2} \right)$ $\int \frac{1}{\cos^2{\alpha x}} \, dx = \frac{{\rm tg} {\alpha x}}{\alpha}$ $\left( x \neq (2k + 1) \frac{\pi}{2} \right)$ $\int \frac{1}{\sin^2{\alpha x}} \, dx = - \frac{{\rm ctg} {\alpha x}}{\alpha}$ $\left( x \neq k \pi \right)$		Гиперболические функции $\int {\rm sh}{\alpha x}\, dx = \frac{{\rm ch}{\alpha x}}{\alpha}$ $\int {\rm ch}{\alpha x}\, dx = \frac{{\rm sh}{\alpha x}}{\alpha}$ $\int {\rm th}{\alpha x}\, dx = \frac{\ln{\rm ch}{\alpha x}}{\alpha}$ $\int {\rm cth}{\alpha x}\, dx = \frac{\ln{\rm sh}{\alpha x}}{\alpha} \qquad (x \neq 0)$ $\int \frac{dx}{{\rm ch}^2{\alpha x}} = \frac{{\rm th}{\alpha x}}{\alpha}$ $\int \frac{dx}{{\rm sh}^2{\alpha x}} = - \frac{{\rm cth}{\alpha x}}{\alpha} \qquad (x \neq 0)$
Дробно-рациональные функции $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} {\rm arctg} {\frac{x}{a}} \qquad (a \neq 0)$ $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} {\rm arth \frac{x}{a}} & (\|x\| < a),\\ \frac{1}{2a} \ln{\frac{a+x}{a-x}} & (x \neq 0) \end{matrix} \right.$ $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \left\{ \begin{matrix} -\frac{1}{a} {\rm arcth \frac{x}{a}} & (\|x\| > a),\\ \frac{1}{2a} \ln{\frac{a-x}{a+x}} & (x \neq 0) \end{matrix} \right.$		Иррациональные функции $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = {\rm arcsin} \frac{x}{a} \qquad (\|x\| < a)$ $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \left\{ \begin{matrix} {\rm arsh} \frac{x}{a} ,\\ \ln{x + \sqrt{a^2 + x^2}} \end{matrix} \right.$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \left\{ \begin{matrix} {\rm arcch} \frac{x}{a} ,\\ \ln{x + \sqrt{x^2 - a^2}},\,(\|x\| > a) \end{matrix} \right.$

* - для упрощения записи во всех интегралах опущена постоянная интегрирования